Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК. Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …,НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ;60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , тоd 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 ,294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

К началу страницы

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

Пример.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

Решение.

Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно,НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231 и −140 равен 7 .

Ответ:

НОД(−231, −140)=7 .

Пример.

Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

Решение.

При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9 .

Ответ:

НОД(−585, 81, −189)=9 .

35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)

36. Кратні корені, критерій кратності кореня.

Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел , то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .

Ответ:

НОД(661, 113)=1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители . Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители .

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .

Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Решение.

Разложим на простые множители числа 72 и 96 :

То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .

Ответ:

НОД(72, 96)=24 .

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a 1 , m·b 1)=m·НОД(a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …, НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2 , 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел - 12 и 9 , поскольку верны равенства 9 = 3 · 3 и − 12 = 3 · (− 4) . У чисел 3 и - 12 есть и другие общие делители, такие, как 1 , − 1 и − 3 . Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3 , − 11 , − 8 и 19 будет два общих делителя: 1 и - 1 .

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b , то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на - b . В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0 . Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a , которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль a , следовательно, любое число, не равное 0 , имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от 0 . Если они все равны 0 , то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных 0 , нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Определение 2

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД (a , b) .

Пример 2

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для 6 и - 15 это будет 3 . Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: ± 6 , ± 3 , ± 1 , а потом все делители пятнадцати: ± 15 , ± 5 , ± 3 и ± 1 . После этого мы выбираем общие: это − 3 , − 1 , 1 и 3 . Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет 3 .

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Определение 3

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел a 1 , a 2 , … , a n делитель удобно обозначать как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) . Само значение делителя записывается как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) = b .

Пример 3

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: 12 , - 8 , 52 , 16 . Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД (12 , - 8 , 52 , 16) = 4 .

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Пример 4

Так, наибольший общий делитель чисел 60 , 15 и - 45 равен 15 , поскольку пятнадцать делится не только на 60 и - 45 , но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным 1 .

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Определение 4

Числа a и b имеют наибольший общий делитель, равный НОД для b и a , то есть НОД (a , b) = НОД (b , a) . Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Определение 5

Если число a можно разделить на число b , то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа b , то есть НОД (a , b) = b .

Докажем это утверждение.

Доказательство 1

Если у чисел a и b есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если a будет кратным b, то любой делитель b будет делителем и для a , поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель b будет общим для чисел a и b . Это доказывает, что если мы можем разделить a на b , то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа b . А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел a и b будет также равен b , т.е. НОД (a , b) = b . Если a = b , то НОД (a , b) = НОД (a , a) = НОД (b , b) = a = b , например, НОД (132 , 132) = 132 .

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД (8 , 24) = 8 , так как 24 есть число, кратное восьми.

Определение 6 Доказательство 2

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство a = b · q + c , и любой общий делитель a и b будет делить и c , что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель b и c будет делить a . Значит, множество общих делителей a и b совпадет с множеством делителей b и c , в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД (a , b) = НОД (b , c) справедливо.

Определение 7

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число a можно представить в виде b · q + r , причем b здесь является делителем, q – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а r – остатком, который удовлетворяет условию 0 ≤ r ≤ b .

Допустим, у нас есть два целых числа больше 0 , для которых будут справедливы следующие равенства:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Эти равенства заканчиваются тогда, когда r k + 1 становится равен 0 . Это случится обязательно, поскольку последовательность b > r 1 > r 2 > r 3 , … представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, r k является наибольшим общим делителем a и b , то есть, r k = НОД (a , b) .

В первую очередь нам надо доказать, что r k – это общий делитель чисел a и b , а после этого – то, что r k является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
r k − 1 можно разделить на r k . Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что r k − 2 можно разделить на r k , так как
r k − 1 делится на r k и r k делится на r k .

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что r k − 3 можно разделить на r k , и т.д. Второе снизу – что b делится на r k , а первое – что a делится на r k . Из всего этого заключаем, что r k – общий делитель a и b .

Теперь докажем, что r k = НОД (a , b) . Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель a и b будет делить r k . Обозначим его r 0 .

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что r 1 делится на r 0 , значит, согласно второму равенству r 2 делится на r 0 . Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что r k делится на r 0 . Следовательно, r k = НОД (a , b) .

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Определение 8

Если a и b являются целыми числами, не равными 0 , то должны существовать два других целых числа u 0 и v 0 , при которых будет справедливым равенство НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя a и b . Оно носит название соотношения Безу, а числа u 0 и v 0 называются коэффициентами Безу.

Доказательство 3

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Первое равенство говорит нам о том, что r 1 = a − b · q 1 . Обозначим 1 = s 1 и − q 1 = t 1 и перепишем данное равенство в виде r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Здесь числа s 1 и t 1 будут целыми. Второе равенство позволяет сделать вывод, что r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) · b . Обозначим − s 1 · q 2 = s 2 и 1 − t 1 · q 2 = t 2 и перепишем равенство как r 2 = s 2 · a + t 2 · b , где s 2 и t 2 также будут целыми. Это объясняется тем, что сумма целых чисел, их произведение и разность также представляют собой целые числа. Точно таким же образом получаем из третьего равенства r 3 = s 3 · a + t 3 · b , из следующего r 4 = s 4 · a + t 4 · b и т.д. В конце заключаем, что r k = s k · a + t k ·b при целых s k и t k . Поскольку r k = НОД (a , b) , обозначим s k = u 0 и t k = v 0 , В итоге мы можем получить линейное представление НОД в требуемом виде: НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Определение 9

НОД (m · a , m · b) = m · НОД (a , b) при любом натуральном значении m .

Доказательство 4

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД (m · a , m · b) = m · r k , а r k – это НОД (a , b) . Значит, НОД (m · a , m · b) = m ·НОД (a , b) . Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Определение 10

Если у чисел a и b есть общий делитель p , то НОД (a: p , b: p) = НОД (a , b) : p . В случае, когда p = НОД (a , b) получим НОД (a: НОД (a , b) , b: НОД (a , b) = 1 , следовательно, числа a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) являются взаимно простыми.

Поскольку a = p · (a: p) и b = p · (b: p) , то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД (a , b) = НОД (p · (a: p) , p · (b: p)) = p ·НОД (a: p , b: p) , среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Определение 11

Наибольшим общим делителем a 1 , a 2 , … , a k будет число d k , которое можно найти, последовательно вычисляя НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей a 1 , a 2 и a 3 совпадает с множеством d 2 и a 3 , то оно совпадет и с делителями d 3 . Делители чисел a 1 , a 2 , a 3 и a 4 совпадут с делителями d 3 , значит, они совпадут и с делителями d 4 , и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадут с делителями d k , а поскольку наибольшим делителем числа d k будет само это число, то НОД (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter