Плоский чистый изгиб. Решение типовых задач по сопромату. Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема

Метод ПауэлаМетод ориентирован на решение задач с квадратичными целевыми функциями, т.е.
функциями вида:
f(x) = a + bTx + 1/2xTCx,
где Q(x) = xTCx – квадратичная форма.
Т.к. в окрестности точки оптимума любую нелинейную функцию можно аппроксимировать
квадратичной функцией (поскольку линейный член разложения Тейлора обращается в нуль),
то метод может быть применен и для нелинейной целевой функции общего вида.
Метод Пауэлла использует свойство квадратичной функции, заключающееся в том, что
любая прямая, которая проходит через точку минимума функции х*, пересекает под равными
углами касательные к поверхностям равного уровня функции в точках пересечения.

Метод Пауэла

Суть метода заключается в следующем (Рассмотрим случай двух переменных).
Выбирается некоторая точка х(0) и выполняется одномерный поиск вдоль произвольного
направления, приводящий в точку х(1) (х(1) – точка минимума функции на выбранном
направлении).
Затем выбирается точка х(2), не лежащая на прямой х(0) – х(1), и осуществляется
одномерный поиск вдоль прямой, параллельной х(0) – х(1).
Находят точку х(3) – точку минимума функции на данном направлении.
Точка х(3) вместе с точкой х(1) определяют направление х(1) – х(3) одномерного поиска,
дающего точку минимума х*.
Направления х(0) – х(2) и х(1) – х(3) являются сопряженными направлениями относительно
матрицы С квадратичной формы Q(x) (C – сопряженные направления).
Точно также сопряженными являются направления х(2)-х(3) и х(1)-х(3).
В рассмотренных построениях для того, чтобы определить сопряженное направление,
требовалось задать две точки и некоторое направление.
Это не слишком удобно для проведения расчетов, поэтому предпочтительнее строить
систему сопряженных направлений, исходя из одной начальной точки.
Это легко осуществить при помощи единичных координатных векторов е(1), е(2), …, е(n).
e(1) = (1, 0, …, 0)T; e(2) = (0, 1, …, 0)T; …; e(n) = (0, 0, …, 1)T.
Проиллюстрируем процедуру построения сопряженных направлений для случая двух
переменных (ее можно обобщить и для n-мерного пространства).

Метод Пауэла

Пусть е(1) = (1, 0)Т; е(2) =(0, 1)Т.
Зададим начальную точку х(00). Произведем одномерный поиск минимума функции f
вдоль направления e(n) – e(2) (n=2), начиная из начальной точки х(00).
Точки прямой, исходящей из х(00) в направлении е(2), задаются формулой
x
= x(00) + he(2).
Вычислим значение h=h0, которому соответствует минимум f(x(00) + h0e(2)).
f(x(00) + h0e(2)) = minh f(x(00) + he(2)).
Положим x(0) = x(00) + h0e(2).
Из точки х(0) выполняем одномерный поиск вдоль направления е(1).
Вычислим значение h1, которому соответствует минимум f(x(0)+h1e(1)).
Положим x(1) = x(0) + h1e(1).
Из точки х(1) выполняем одномерный поиск в направлении е(2).
Вычисляем значение h2, которому соответствует минимум f(x(1)+h2e(2)).
Положим x(2) = x(1) + h2e(2).
Направления (х(2) – х(0)) и е(2) оказываются сопряженными.
Это видно из следующего рисунка.

Метод Пауэла

Можно рассуждать так:
мы выбрали две точки х(00) и х(1) и
из этих точек выполнили одномерный
поиск в направлении е(2).
Соответствующие этим поискам
точки минимума – х(0) и х(2).
Поэтому направление х(0) – х(2)
является
сопряженным
с
(2)
направлением е.
Одномерный
поиск
в
направлении е(2) дает точку минимума
х*.
Поэтому на следующей итерации
проводится одномерный поиск в
направлении х(0) – х(2) и будет получена
точка минимума х*.
В случае квадратичной функции n
переменных оптимальное значение
находится за n итераций при этом
требуется провести n2 одномерных
поисков.

Алгоритм метода Пауэлла

1. Задают начальную точку х(00). Выполняют одномерный поиск минимума функции f
вдоль направления p(n) = e(n) = (0, …, 0, 1)T. Величина шага h0 находится из условия f(x(00)
+h0p(n)) = minh f(x(00) +hp(n)). Полученный шаг определяет точку x(0) = x(00) + h0p(n);
k:=1(номер итерации).
2. За начальные направления поиска р(1), р(2), …, р(n) принимают направления осей
координат, т.е. p(i) = e(i) (i = 1, …, n), где е(1) = (1, 0, …, 0)Т, е(2) = (0, 1, …, 0)Т, …, е(n) = (0, …,
0, 1)Т.
3. Из точки х(0) выполняют n одномерных поисков вдоль направлений p(i) (i = 1, …, n).
При этом каждый следующий поиск производится из точки минимума, полученной на
предыдущем шаге. Величина шага hi находится из условия f(x(i-1) + hip(i)) = minh f(x(i-1) +
hp(i)). Полученный шаг определяет точку x(i) = x(i-1) +hip(i).
4. Выбираем новое направление p = x(n) – x(0) и заменяем направления p(1), …, p(n)
соответственно на p(2), …, p(n), p.
5. Из точки x(n) осуществляют одномерный поиск вдоль направления p = p(n) = x(n) – x(0).
Величина шага hn+1 находится из f(x(n) + hn+1p) = minh f(x(n) + hp). Полученный шаг
определяет точку x(n+1) = x(n) + hn+1p; k:=k+1(номер итерации).

Алгоритм метода Пауэлла

6. Проверяют выполнение условия k n. Если условие выполняется перейти к п.7, в
противном случае перейти к п.8.
7. а) если целевая функция квадратичная, то поиск прекращается; х* полагается
равным x(n+1) (x* := x(n+1)).
б)если целевая функция не является квадратичной, то проверяют выполнение условия
||x(n) – x(0)|| (- заданная точность) (т.е. изменение по каждой независимой переменной
должно быть меньше, чем заданная точность). Если условие выполняется, то поиск
прекратить; х* полагается равным x(n+1). В противном случае перейти к п.8.
8. Заменяют x(0) на x(n+1) (x(0) := x(n+1)) и принимают эту точку за начальную точку х(0) для
следующей итерации. Переходят к п.3.
Таким образом, в результате выполнения рассмотренной процедуры осуществляется
поочередная замена принятых вначале направлений поиска. В итоге после n итераций они
окажутся взаимно сопряженными.

Подобные документы

Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.

контрольная работа , добавлен 16.08.2010

Анализ теорем сопряженных функторов. Естественное преобразование как семейство морфизмов. Характеристика свойств рефлективных подкатегорий. Знакомство с универсальными стрелками. Рассмотрение особенностей метода построения сопряженных функторов.

курсовая работа , добавлен 27.01.2013

Методика преобразования вращения и ее значение в решении алгебраических систем уравнений. Получение результирующей матрицы. Ортогональные преобразования отражением. Итерационные методы с минимизацией невязки. Решение методом сопряженных направлений.

реферат , добавлен 14.08.2009

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, их характеристика и отличительные черты, особенности и сферы применения. Структура метода ортогонализации и метода сопряженных градиентов, их разновидности и условия, этапы практической реализации.

курсовая работа , добавлен 01.10.2009

Численные методы поиска безусловного экстремума. Задачи безусловной минимизации. Расчет минимума функции методом покоординатного спуска. Решение задач линейного программирования графическим и симплексным методом. Работа с программой MathCAD.

курсовая работа , добавлен 30.04.2011

Формирование функции Лагранжа, условия Куна и Таккера. Численные методы оптимизации и блок-схемы. Применение методов штрафных функций, внешней точки, покоординатного спуска, сопряженных градиентов для сведения задач условной оптимизации к безусловной.

курсовая работа , добавлен 27.11.2012

Математическая модель задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Значение целевой функции. Система, состоящая из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Решение задач графическим методом. Выделение полуплоскости, соответствующей неравенству.

контрольная работа , добавлен 12.06.2011

Методы нахождения минимума функции одной переменной и функции многих переменных. Разработка программного обеспечения вычисления локального минимума функции Химмельблау методом покоординатного спуска. Поиск минимума функции методом золотого сечения.

курсовая работа , добавлен 12.10.2009

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.

курсовая работа , добавлен 14.04.2009

Основные сведения о симплекс-методе, оценка его роли и значения в линейном программировании. Геометрическая интерпретация и алгебраический смысл. Отыскание максимума и минимума линейной функции, особые случаи. Решение задачи матричным симплекс-методом.

Рассмотрим задачу о нахождении максимума квадратичной функции

где и – -мерные векторы евклидова пространства , – положительно определенная квадратичная форма, задаваемая матрицей .

Сначала заметим, что градиент функции равен и точка максимума функции может быть найдена из уравнения

Выводимые ниже алгоритмы позволяют отыскивать максимум, минуя решение системы линейных уравнений или получение обратной матрицы. Напротив, эти алгоритмы могут быть использованы для решения систем уравнений.

1. Рассмотрим сначала процесс, отнюдь не являющийся алгоритмом для нахождения минимума квадратичной функции, но из которого легко следуют весьма эффективные алгоритмы – метод сопряженных градиентов и метод параллельных касательных.

Пусть – произвольная точка пространства . Обозначим – градиент функции в точке . Пусть – одномерное гиперпространство, прямая, проходящая через в направлении , т. е. иными словами, множество векторов вида .

Найдем точку , в которой достигается условный максимум функции на прямой . Продолжим это построение по индукции. Пусть уже построено -мерное гиперпространство и в нем найдена точка , в которой функция достигает условного максимума.

Обозначим градиент функции в точке . Примем, далее, за гиперпространство пространство, натянутое на и прямую, проходящую через в направлении . Пространство состоит из векторов вида

где , а скаляр пробегает значения от до .

Наконец, – это точка, в которой достигает условного максимума на пространстве . Таким образом, получаем такие последовательности:

По индукции легко показывается, что гиперпространство может рассматриваться как множество векторов вида

где – градиенты функции в точках , а принимают любые действительные значения. Отсюда, очевидно, следует, что при .

2. Из анализа известно, что если гладкая функция достигает условного экстремума на некотором гиперпространстве в точке , то градиент функции в этой точке ортогонален гиперпространству. Применительно к нашему построению отсюда следует, что ортогонален всякому вектору вида , где и принадлежат , т. е.

при . (16.2)

В частности, векторы и при принадлежат в силу (16.1), откуда

а следовательно, и вообще

При . (16.3)

Отсюда следует, что если , то вектор невыразим линейно через и поэтому пространство имеет размерность на 1 большую, чем .

Таким образом, размерность пространства последовательно нарастает с ростом до тех пор, пока не обратится в нуль. Но последнее означает, что в точке достигнут уже абсолютный максимум . Действительно, поскольку – выпуклая гладкая функция, то обращение в нуль ее градиента является необходимым и достаточным условием максимума.

После обращения в нуль процесс зацикливается, потому что при этом совпадает с , соответственно – с и т. д. Поэтому в дальнейшем будем считать, что процесс обрывается, как только обратится в нуль, и тем самым будет установлено, что точка , найденная на предыдущем шаге, доставляет абсолютный максимум во всем пространстве . В то же время это обязательно должно произойти при , так как если при градиент не обращается в нуль, то размерность гиперпространства , увеличиваясь каждый раз на 1, на -м шаге достигнет размерности всего пространства , т. е. совпадает с , и тем самым условный максимум на , естественно, совпадет с абсолютным.

Рассмотренный процесс, конечно, не является удобным алгоритмом, для нахождения максимума, так как формально на каждом шаге требуется находить условный максимум в пространствах последовательно нарастающей размерности вплоть до полной размерности всего пространства. Однако оказывается, что в действительности можно искать условный максимум на каждом шаге в гиперпространстве размерности 2, т. е. на обыкновенных двумерных гиперплоскостях, или даже в гиперпространстве размерности 1, т. е. на прямой.

3. Для обоснования этого положения установим следующие факты. Обозначим через вектор , т. е. смещение от условного максимума в , к условному максимуму .

В самом деле, процесс продолжается лишь до тех пор, пока не обратится в нуль. Поэтому достаточно показать что при . Поскольку градиент функции в точке не равен нулю, функция возрастает при движении вдоль прямой из точки по крайней мере при малых . Следовательно, на этой прямой есть точки, в которых больше, чем . Но эта прямая принадлежит и, следовательно, и подавно больше, чем , т. е.

. (16.5)

Отсюда ясно, что и (16.4) верно. Из (16.5) также следует, что

б) Векторы и при ортогональны относительно матрицы , т. е.

При . (16.6)

Поскольку матрица симметрична,

После очевидного преобразования получим

Окончательно,

в) Система векторов линейно независима, т. е. не существует чисел , не все из которых равны нулю, таких, что

В самом деле, предположим противное, и пусть, например, . Тогда

где положено

Умножая справа и слева это равенство на , получим в силу (16.6)

но это невозможно, поскольку (утверждение а)) и квадратичная форма положительно определена.

г) Утверждения б) и в) устанавливают, что векторы образуют -ортогональный базис. В силу известных теорем линейной алгебры отсюда следует, что всякий вектор пространства представим в виде

. (16.7)

Это утверждение можно доказать и непосредственно по индукции. Для утверждение очевидно, так как всякая точка прямой может быть представлена и в виде , если учесть, что , так же как и , лежит на этой прямой и . В общем случае предположим, что (16.7) верно для , т. е. всякий вектор вида может быть заменен поиском максимума на плоскости или на прямой.

Описание алгоритма

Метод ориентирован на решение задач с квадратичными целевыми функциями. Основная идея алгоритма заключается в том, что если квадратичная функция:

приводится к виду сумма полных квадратов

то процедура нахождения оптимального решения сводится к одномерным поискам по преобразованным координатным направлениям.

В методе Пауэлла поиск реализуется в виде:

вдоль направлений, называемых -сопряженными при линейной независимости этих направлений.

Сопряженные направления определяются алгоритмически. Для нахождения экстремума квадратичной функции переменных необходимо выполнить одномерных поисков.

Шаг 1. Задать исходные точки, и направление. В частности, направление может совпадать с направлением координатной оси;

Шаг 2. Произвести одномерный поиск из точки в направлении получить точку, являющуюся точкой экстремума на заданном направлении;

Шаг 3. Произвести одномерный поиск из точки в направлении получить точку;

Шаг 4. Вычислить направление;

Шаг 5. Провести одномерный поиск из точки (либо) в направлении c выводом в точку.

Нахождение минимума целевой функции методом сопряжённых направлений Пауэлла.

Целевая функция:

Начальная точка:

Значение целевой функции в этой точке:

Шаг 1. Зададим исходные точки S(1) и S(2):

S(1) = S(2) =

Шаг 2. Найдем значение, при [Х(0)+2S(2)]. Произвольная точка на луче из точки Х(0) в направлении S(2) определяется как

Х = Х(0) + S(2) = [-9;-10] +

откуда X 1 = -9 X 2 = - 10

Отсюда находим:

X(1) = [-9;-10] + 15.5 = [-9;5.5]

Аналогично найдем значение, при [Х(1)+S(1)].

Х = Х(1) + S(1) = [-9;5.5] +

откуда X1 = -9 X2 =5.5

Подставляя эти значения в целевую функцию, получаем

Дифференцируем это выражение по и приравниваем нулю:

Отсюда находим:

X(2) = [-9;5.5] + 10.5 =

Также найдем значение, при [Х(2)+2S(2)].

Х = Х(2) + S(2) = +

откуда X 1 = 3 X 2 = 5.5+

Подставляя эти значения в целевую функцию, получаем

Дифференцируем это выражение по и приравниваем нулю:

Отсюда находим:

X(3) = -6 =

Шаг 3. Положим

S(3) = X(3) - X(1) =

Направление S(3) оказывается сопряженным с направлением S(2). Поскольку N = 2, то оптимизация вдоль направления S(3) дает искомый результат. Шаг 4. Найдем такое значение, при

X = X(3) + = +

X 1 = 3+ 12 X 2 = -0.5 -6

Х(4) = +0.0278* =

Таким образом, получили точку х= T , значение функции в которой f(x) = -3,778, совпадает со стационарной точкой.

Вывод: метод сопряженных направлений Пауэлла обеспечивает высокоточный при малом количестве итераций по сравнению с предыдущими методами.

Графическое пояснение метода сопряженных направлений Пауэлла:

Методы прямого поиска являются удобными при простых целевых функциях, или когда необходимо найти оптимум с невысокой степенью точности. Но требуют больших затрат времени и вычислительных ресурсов, из-за большого числа проводимых итераций: метод поиска по симплексу - 15 итераций, метод Хука-Дживса - 5 итераций, метод сопряженных направлений Пауэлла - 4 итерации.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1). Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. 6.1

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной
. До деформации сечения, ограничивающие элемент
, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол
. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется
. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна
, отстоящего на расстоянииот нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги
) равна
. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину
, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что
, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки
получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором
. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента
в поперечном сечении (6.1)

Вспомним, что интеграл
представляет собой момент инерции сечения относительно оси

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя
) с действующим в сечении моментом. Произведение
носит название жесткости сечения при изгибе, Н·м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы
и изгибающего момента