Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой H 0 , правило, по которому гипотеза принимается или отвергается называется статистическим критерием.. Статистические критерии, служащие для проверки гипотез о виде законов распределения называются критериями согласия. Т.е. критерии согласия устанавливают, когда полученные в действительности расхождения между предполагаемыми теоретическим и опытным распределением:несущественно - случайные и когда существенно - неслучайные.
Рассмотрим случайную величину, которая характеризует вид или функцию расхождения между предполагаемым теоретическим и опытным распределением признака, тогда по имеющемуся опытному распределению, можно определить значение a , которое приняла случайная величина, если известен ее закон распределения, то не трудно найти вероятность того, что случайная величина примет значение не меньшее a . Если величина a получена как результат наблюдения случайной величины x , т.е. при распределении рассматриваемого признака, по предполагаемому теоретическому закону, то вероятность не должна быть малой. Если же вероятность оказалась малой, то это объясняется тем, что фактически полученному значение не случайной величины x , а какой-то другой с другим законом распределения, т.е. изучаемый признак распределен не по предполагаемому закону. Таким образом, в случае, когда не мала -расхождения между эмпирическими и теоретическими распределениями следует признать не существенным- случайным, а опытное и теоретическое распределение не противоречащими, т.е. согласующимися друг с другом.
Если вероятность мала, то расхождения между опытным и теоретическим распределениями существенны, объяснить их случайностью нельзя, а гипотезу о распределении признака по предполагаемому теоретическому закону следует считать не подтвердившейся, она не согласуется с опытными данными. Необходимо тщательно изучив опытные данные попытаться найти новый закон о качестве предполагаемого признака, который лучше, полнее бы отражал особенности опытного распределения, такие вероятности считаются малыми и их берут не превосходящими 0,1.
Критерии согласия Пирсона или критерии c 2 .
Пусть анализ опытных данных привел к выбору некоторого закона распределения, в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а по опытным данным в результате n-наблюдений, найдены параметры (если они не были известны раннее). Обозначим через n i - эмпирические частоты случайной величины x.
n×P i -теоретические частоты, представляющие произведение числа наблюдений n на вероятности P i - рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению. Критерии согласия c 2 за меру расхождения теоретического и эмпирического рядов частот принимают величину
;
c 2 -величина, которую называют c 2 распределение или распределение Пирсона. Она равна 0 лишь при совпадении всех эмпирических и теоретических частот, в остальных случаях отлична от 0 и тем больше, чем больше расхождение между указанными частотами. Доказано, что выбранная характеристика c 2 или статистика при n®¥ имеет распределение Пирсона со степенями свободы
k=m-s- 1.
где m -число интервалов эмпирического распределения вариационного ряда или число групп.
s -число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным, (например в случае нормального распределения число оцениваемых по выборке параметров равно 2).
Схема применения критерия сводится к следующему:
1. По опытным данным выбирают в качестве предполагаемого закон распределения признака и находят его параметры.
2. С помощью полученного распределения определяют теоретические частоты, соответствующие опытным частотам.
3. Малочисленные опытные частоты, если они есть, объединяют с соседними, затем по формуле определяют величину c 2 .
4. Определяют число степеней свободы k .
5. Из таблиц приложения для выбранного уровня значимости a находят критическое значение при числе степеней свободы равным k .
6. Формулируем вывод, руководствуясь общим принципом применения критериев согласия, а именно если вероятность >0,01, то имеющиеся расхождения между теоретическими и опытными частотами признаются не существенными.
Если фактически наблюдаемое значение больше критического, то H 0 отвергается, если то гипотеза не противоречит опытным данным. Критерий c 2 дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число наблюдений n i .
Замечание: Если в каком-нибудь интервале число наблюдений <5, то имеет смысл объединить соседние интервалы с тем, чтобы в объединенных интервалах n i было не меньше 5. При этом при вычислении числа степеней свободы k в качестве m -берется соответственно уменьшенное число интервалов.
Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году
(в %-тах к предыдущему году).
Статистические гипотезы. Критерии согласия.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.
Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что случайная величина X распределена по закону , то конкурирующая гипотеза может состоять в предположении, что случайная величина Х распределена по другому закону.
Статистическим критерием (или просто критерием ) называют некоторую случайную величину К , которая служит для проверки нулевой гипотезы.
После выбора определенного критерия, например критерия , множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое - при которых она принимается.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия нулевой гипотезы.
Для нашего примера, при значении , вычисленное по выборке значение соответствует области принятия гипотезы: случайная величина распределена по закону . Если же вычисленное значение , то оно попадает в критическую область, то есть гипотеза о распределении случайной величины по закону отвергается.
В случае распределения критическая область определяется неравенством , область принятия нулевой гипотезы – неравенством .
2.6.3. Критерий согласия Пирсона.
Одна из задач зоотехнии и ветеринарной генетики – выведение новых пород и видов с требуемыми признаками. Например, повышение иммунитета, резистентность к болезням или изменение окраски мехового покрова.
На практике, при анализе результатов, очень часто оказывается, что фактические результаты в большей или меньшей степени соответствуют некоторому теоретическому закону распределения. Возникает необходимость оценить степень соответствия фактических (эмпирических) данных и теоретических (гипотетических). Для этого выдвигают нулевую гипотезу : полученная совокупность распределена по закону «А». Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.
Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Имеется несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и д.р. Критерий согласия Пирсона используется наиболее часто.
Рассмотрим применение критерия Пирсона на примере проверки гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности. С этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические (вычисленные в продолжении нормального распределения) частоты.
Обычно между теоретическими и эмпирическими частотами есть некоторое различие. Например :
Эмпирические частоты 7 15 41 93 113 84 25 13 5
Теоретические частоты 5 13 36 89 114 91 29 14 6
Рассмотрим два случая:
Расхождение теоретических и эмпирических частот случайно (незначимо), т.е. можно сделать предложение о распределении эмпирических частот по нормальному закону;
Расхождение теоретических и эмпирических частот неслучайно (значимо), т.е. теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
С помощью критерия согласия Пирсона можно определить случайно или нет расхождение теоретических и эмпирических частот, т.е. с заданной доверительной вероятностью определить, распределена генеральная совокупность по нормальному закону или нет.
Итак, пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:
Варианты ……
Эмпирические частоты …….
Допустим, что в предположении нормального распределения вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу : генеральная совокупность распределена нормально.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
(*)
Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.
Доказано, что при закон распределения случайной величины (*), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с степенями свободы. Поэтому, случайная величина (*) обозначается через , а сам критерий называют критерий согласия «хи-квадрат».
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через . Табулированные критические значения критерия для данного уровня значимости и числа степеней свободы обозначают . При этом число степеней свободы определяют из равенства , где число групп (частичных интервалов) выборки или классов; - число параметров предполагаемого распределения. У нормального распределения два параметра – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Поэтому число степеней свободы для нормального распределения находят из равенства
Если для вычисленного значения и табличного значения выполняется неравенство , принимается нулевая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Если же , нулевую гипотезу отвергают и принимают гипотезу, альтернативную ей (генеральная совокупность не распределена по нормальному закону).
Замечание. При использовании критерия согласия Пирсона объем выборки должен быть не менее 30. Каждая группа должна содержать не менее 5 вариант. Если же в группах окажется менее 5 частот, их объединяют с соседними группами.
В общем случае число степеней свободы для распределения хи-квадрат определяется как общее число величин, по которым вычисляют соответствующие показатели, минус число тех условий, которые связывают эти величины, т.е. уменьшают возможность вариации между ними. В простейших случаях при вычислении число степеней свободы будет равно числу классов, уменьшенному на единицу. Так, например, при дигибридном, расщеплении получают 4 класса, но не связанным получается лишь первый класс, последующие уже связаны с предыдущими. Поэтому для дигибридного расщепления число степеней свободы .
Пример 1. Определить степень соответствия фактического распределения групп по количеству больных туберкулезом коров с теоретически ожидаемым, которое было вычислено при рассмотрении нормального распределения. Исходные данные сведены в таблицу:
Решение.
По уровню значимости и числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения (см. приложение 4) находим значение . Поскольку , можно сделать вывод, что различие между теоретическими и фактическими частотами носит случайный характер. Таким образом, фактическое распределение групп по количеству больных туберкулезом коров соответствует теоретически ожидаемому.
Пример 2. Теоретическое распределение по фенотипу особей, полученных во втором поколении при дигибридном скрещивании кроликов по закону Менделя составляет 9: 3: 3: 1. Требуется вычислить соответствие эмпирического распределения кроликов от скрещивания черных особей с нормальной шерстью с пуховыми животными – альбиносами. При скрещивании во втором поколении было получено 120 потомков, в том числе – 45 черных с короткой шерстью, 30 черных пуховых, 25 белых с короткой шерстью, 20 белых пуховых кроликов.
Решение. Теоретически ожидаемое расщепление в потомстве должно соответствовать соотношению четырех фенотипов (9: 3: 3: 1). Рассчитаем теоретические частоты (количество голов) для каждого класса:
9+3+3+1=16, значит можно ожидать, что черных короткошерстных будет ; черных пуховых - ; белых короткошерстных - ; белых пуховых - .
Эмпирическое (фактическое) распределение по фенотипам было следующим 45; 30; 25; 20.
Сведем все эти данные в следующую таблицу:
Используя критерий согласия Пирсона вычислим значение :
Число степеней свободы при дигибридном скрещивании . Для уровня значимости находим значение . Поскольку , можно сделать вывод, что различие между теоретическими и фактическими частотами является неслучайным. Следовательно, полученная группа кроликов отклоняется по распределению фенотипов от закона Менделя при дигибридном скрещивании и отражает влияние неких факторов, изменяющих тип расщепления по фенотипу у второго поколения помесей.
Критерий согласия хи- квадрат Пирсона можно использовать и для сравнения друг с другом двух однородных эмпирических распределений, т.е. таких, у которых одни и те же границы классов. В качестве нулевой гипотезы принимается гипотеза о равенстве двух неизвестных функций распределения. Критерий хи-квадрат в таких случаях определяется по формуле
(**)
где и - объемы сравниваемых распределений; и - частоты соответствующих классов.
Рассмотрим сравнение двух эмпирических распределений на следующем примере.
Пример 3. Проводился промер длины яиц кукушек по двум территориальным зонам. В первой зоне была обследована выборка из 76 яиц (), во второй из 54 (). Получены следующие результаты:
Длина (мм) | |||||||||||
Частоты | |||||||||||
Частоты | - | - | - |
При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу, что обе выборки яиц принадлежат одной популяции кукушек.
Критерии для проверки случайности и оценки резко выделяющихся наблюдений Литература Введение В практике статистического анализа экспериментальных данных основной интерес представляет не само по себе вычисление тех или иных статистик а ответы на вопросы такого типа. Соответственно разработано и множество критериев для проверки выдвигаемых статистических гипотез. Все критерии для проверки статистических гипотез делятся на две большие группы: параметрические и непараметрические.
Поделитесь работой в социальных сетях
Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск
Контрольная работа
Использование критериев согласия
Введение
Литература
Введение
В практике статистического анализа экспериментальных данных основной интерес представляет не само по себе вычисление тех или иных статистик, а ответы на вопросы такого типа. Действительно ли среднее генеральной совокупности равно некоторому числу? Значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции? Равны ли дисперсии двух выборок? И таких вопросов в зависимости от конкретной исследовательской задачи может возникать много. Соответственно разработано и множество критериев для проверки выдвигаемых статистических гипотез. Некоторые наиболее употребительные из них мы и рассмотрим. В основном они будут относиться к средним, дисперсиям, коэффициентам корреляции и распределениям численностей.
Все критерии для проверки статистических гипотез делятся на две большие группы: параметрические и непараметрические. Параметрические критерии основаны на предположении о том, что выборочные данные взяты из генеральной совокупности с известным распределением, и основная задача состоит в оценке параметров этого распределения. Для непараметрических критериев не требуется никаких предположений о характере распределения, за исключением предположения о том, что оно непрерывно.
Первыми рассмотрим параметрические критерии. Последовательность проверки будет включать формулирование нуль-гипотезы и альтернативной гипотезы, формулирование делаемых допущений, определение выборочной статистики, используемой при проверке и, образование выборочного распределения проверяемой статистики, определение критических областей для выбранного критерия и построение доверительного интервала для выборочной статистики.
1 Критерии согласия для средних
Пусть проверяемая гипотеза состоит в том, что параметр генеральной совокупности. Необходимость такой проверки может возникнуть, например, в следующей ситуации. Предположим, что на основании обширных исследований установлен диаметр раковины ископаемого моллюска в отложениях из некоторого фиксированного места. Пусть также в нашем распоряжении оказалось некоторое количество раковин, найденных в другом месте, а мы делаем предположение, что конкретное место не оказывает влияния на диаметр раковины, т.е. что среднее значение диаметра раковины для всей популяции моллюсков, когда-то живших в новом месте, равно известному значению, полученному ранее при изучении данного вида моллюсков в первом местообитании.
Если это известное значение равно, то нуль-гипотеза и альтернативная гипотеза записываются следующим образом: Примем, что переменная x в рассматриваемой совокупности имеет нормальное распределение, а величина дисперсии генеральной совокупности неизвестна.
Будем проверять гипотезу с помощью статистики:
, (1)
где - выборочное стандартное отклонение.
Было показано, что если справедлива, то t в выражении (1) имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Если выбрать уровень значимости (вероятность отбросить правильную гипотезу) равным, то в соответствии с тем, о чем шла речь в предыдущей главе, можно определеить критические значения для проверки =0.
В данном случае, так как распределение Стьюдента симметрично, то (1-) часть площади под кривой этого распределения с n-1 степенями свободы будет заключена между точками и, которые равны друг другу по абсолютной величине. Следовательно, все значения меньше отрицательного и больше положительного значения для t-распределения с заданным числом степеней свободы при выбранном уровне значимости будут составлять критическую область. Попадание выборочного значения t в эту область приводит к принятию альтернативной гипотезы.
Доверительный интервал для строится по описанной ранее методике и определяется из следующего выражения
(2)
Итак, пусть в нашем случае известно, что диаметр раковины ископаемого моллюска равен 18,2 мм. В нашем распоряжении оказалась выборка из 50 вновь найденных раковин, для которых мм, а =2,18 мм. Проверим: =18,2 против Имеем
Если уровень значимости выбрать =0,05 то критическое значение. Отсюда следует, что можно отклонить в пользу на уровне значимости =0,05 . Таким образом, для нашего гипотетического примера можно утверждать (естественно, с некоторой вероятностью), что диаметр раковины ископаемых моллюсков определенного вида зависит от мест, в которых они обитали.
В связи с тем, что t-распределение симметрично, приводятся только положительные значения t этого распределения при выбранных уровнях значимости и числе степеней свободы. Причем учитывается не только доля площади под кривой распределения справа от значения t, но и одновременно слева от значения -t. Это связано с тем, что в большинстве случаев при проверке гипотез нас интересует существенность отклонений сама по себе, независимо от того, в большую или меньшую сторону эти отклонения, т.е. мы проверяем против, а не против: >a или: Вернемся теперь к нашему примеру. Доверительный 100(1-)% интервал для равен
18,92,01
Рассмотрим теперь случай, когда необходимо сравнить между собой средние двух генеральных совокупностей. Проверяемая гипотеза выглядит так: : =0, : 0. Предполагается также, что имеет нормальное распределение со средним и дисперсией, а - нормальное распределение со средним и той же дисперсией. Кроме того, принимаем, что выборки, по которым оцениваются генеральные совокупности, извлекаются независимо друг от друга и имеют объем соответственно и Из независимости выборок следует, что если взять большее их число и для каждой пары рассчитать средние значения, то множество этих пар средних будет полностью некоррелированно.
Проверка нулевой гипотезы проводится с использованием статистики
(3)
где и - оценки дисперсии для первой и второй выборок соответственно. Нетрудно видеть, что (3) представляет собой обобщение (1).
Было показано, что статистика (3) имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы. При равенстве и, т.е. = = формула (3) упрощается и имеет вид
(4)
Рассмотрим пример. Пусть при измерении стеблевых листьев одной и той же популяции растений в течение двух сезонов получены следующие результаты: Будем считать, что условия для использования критерия Стьюдента, т.е. нормальность генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, существование неизвестной, но одной и той же дисперсии для этих совокупностей и независимость выборок выполнены. Оценим на уровне значимости =0,01. Имеем
Табличное значение t = 2,58. Поэтому гипотеза о равенстве средних значений длин стеблевых листьев для популяции растений в течение двух сезонов должна быть отвергнута на выбранном уровне значимости.
Внимание!
В качестве нулевой гипотезы в математической статистике выбирается гипотеза об отсутствии значимых различий между сравниваемыми показателями, причем независимо от того, идет ли речь о средних, дисперсиях или других статистиках. И во всех этих случаях, если эмпирическое (вычисленное по формуле) значение критерия больше теоретического (выбранного из таблиц), то отвергается. Если же эмпирическое значение меньше табличного, то принимается.
Для того, чтобы построить доверительный интервал для разности средних этих двух генеральных совокупностей, обратим внимание на то, что критерий Стьюдента, как видно из формулы (3), оценивает значимость разности между средними относительно стандартной ошибки этой разности. В том, что знаменатель в (3) представляет именно эту стандартную ошибку, нетрудно убедиться, используя уже рассмотренные ранее соотношения и сделанные предположения. В самом деле, нам известно, что в общем случае
Если x и y независимы, то и
Взяв вместо x и y выборочные значения и и припомнив сделанное предположение о том, что обе генеральные совокупности имеют одну и ту же дисперсию, получим
(5)
Оценка дисперсии может быть получена из следующего соотношения
(6)
(Мы делим на, потому что по выборкам оцениваются две величины и, и значит, число степеней свободы должно быть уменьшено на два.)
Если теперь подставить (6) в (5) и извлечь квадратный корень, то получится знаменатель в выражении (3).
После этого отступления вернемся к построению доверительного интервала для через -.
Имеем
Сделаем некоторые замечания, связанные с предположениями, используемыми при построении t-критерия. Прежде всего было показано, что нарушения допущения о нормальности для имеют незначительное влияние на уровень значимости и мощность критерия для 30. Несущественно также и нарушение предположения об однородности дисперсий обоих генеральных совокупностей, из которых берутся выборки, но тольков том случае, когда объемы выборок равны. Если же а дисперсии обеих совокупностей отличаются друг от друга, то вероятности ошибок первого и второго рода будут существенно отличаться от ожидаемых.
В этом случае для проверки следует пользоваться критерием
(7)
с числом степеней свободы
. (8)
Как правило, получается дробным числом, поэтому при пользовании таблицами t-распределения необходимо брать табличные значения для ближайших целых значений и проводить интерполяцию для нахождения t, соответствующего полученному.
Рассмотрим пример. При изучении двух подвидов озерной лягушки рассчитывалось отношение длины тела к длине голени. Были взяты две выборки с объемами =49 и =27. Средние и дисперсии интересующего нас отношения оказались равными соответственно =2,34; =2,08; =0,21; =0,35. Если теперь проверять гипотезу с использованием формулы (2), то получим, что
При уровне значимости =0,05 мы должны отвергнуть нулевую гипотезу (табличное значение t=1,995) и считать, что есть статистически достоверные на выбранном уровне значимости различия между средними значениями измеряемых показателей для двух подвидов лягушки.
При использовании же формул (6) и (7) имеем
В данном случае для того же уровня значимости =0,05 табличное значение t=2,015, и нулевая гипотеза принимается.
На этом примере достаточно ясно видно, что пренебрежение условиями, принимаемыми при выводе того или иного критерия, может привести к результатам, прямо противоположным тем, которые имеют место на самом деле. Конечно же, в данном случае, имея выборки разного объема в отсутствии заранее установленного факта о том, что дисперсии измеряемого показателя в обеих популяциях статистически равны, следовало пользоваться формулами (7) и (8), которые и показали отсутствие статистически значимых различий.
Поэтому хочется повторить еще раз, что проверка соблюдения всех предположений, сделанных при выводе того или иного критерия, является совершенно необходимым условием для его корректного использования.
Неизменным требованием в обоих приведенных модификациях t-критерия было требование о независимости между собой выборок. Однако на практике достаточно часто встречаются ситуации, когда это требование не может быть выполнено по объективным причинам. Например, измеряются некоторые показатели на одном и том же животном или участке территории до и после действия внешнего фактора и т.д. И в этих случаях нас может интересовать проверка гипотезы против. Будем по-прежнему предполагать, что обе выборки взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией.
В этом случае можно воспользоваться тем фактом, что разности между нормально распределенными величинами также имеют нормальное распределение, и поэтому можно воспользоваться критерием Стьюдента в форме (1). Таким образом, будет проверяться гипотеза о том что n разностей есть выборка из нормально распределенной генеральной совокупности со средним, равным нулю.
Обозначив i-ю разность через, имеем
, (9) Рассмотрим пример. Пусть в нашем распоряжении имеются данные о количестве импульсов отдельной нервной клетки за определенный интервал времени до () и после () действия раздражителя:
Отсюда Имея в виду, что (9) имеет t-распределение, и выбрав уровень значимости =0,01, из соответствующей таблицы Приложения найдем, что критическое значение t для n-1=10-1=9 степеней свободы равно 3,25. Сравнение теоретического и эмпирического значений t-статистики показывает, что нулевая гипотеза об отсутствии статистически значимых различий между частотой импульсации до и после подачи стимула должна быть отвергнута. Можно сделать вывод о том, сто используемый раздражитель статистически значимо меняет частоту импульсации.
В экспериментальных исследованиях, как упоминалось выше, зависимые выборки появляются достаточно часто. Тем не менее этот факт иногда игнорируется и t-критерий некорректно используется в форме (3).
В неправомерности этого можно убедиться, рассматривая стандартные ошибки разности между некоррелированными и коррелированными средними. В первом случае
А во втором
Стандартная ошибка разности d равна
С учетом этого знаменатель в (9) будет иметь вид
Теперь обратим внимание на то, что числители выражений (4) и (9) совпадают:
следовательно, различие в величине t в них зависит от знаменателей.
Таким образом, если в задаче с зависимыми выборками будет использована формула (3), и при этом выборки будут иметь положительную корреляцию, то получаемые значения t будут меньше, чем они должны были бы быть при использовании формулы (9), и может возникнуть ситуация, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как она неверна. Обратная ситуация может возникнуть, когда между выборками будет существовать отрицательная корреляция, т.е. в этом случае значимыми будут признаваться такие различия, которые на самом деле таковыми не являются.
Вернемся вновь к примеру с импульсной активностью и вычислим для приведенных данных значение t по формуле (3), не обращая внимания на то, что выборки связаны. Имеем: Для числа степеней свободы, равного 18, и уровня значимости =0,01 табличное значение t=2,88 и, на первый взгляд, кажется, что ничего не произошло, даже при использовании непригодной для данных условий формулы. И в этом случае вычисленное значение t приводит к отбрасыванию нулевой гипотезы, т.е. к тому же самому выводу, который был сделан с использованием правильной в данной ситуации формулой (9).
Однако давайте переформируем имеющиеся данные и представим их в следующем виде (2):
Это те же самые значения, и они вполне могли бы быть получены в каком-нибудь из опытов. Так как все значения в обеих выборках сохранены, то использование критерия Стьюдента в формуле (3) дает уже полученное ранее значение =3,32 и приводит к тому же самому выводу, который уже был сделан.
А теперь рассчитаем значение t по формуле (9), которая и должна использоваться в данном случае. Имеем: Критическое значение t при выбранном уровне значимости и девяти степенях свободы равно 3,25. Следовательно, оснований отвергнуть нулевую гипотезу у нас нет, мы ее принимаем, и оказывается, что этот вывод прямо противоположен тому, который был сделан при использовании формулы (3).
На этом примере мы вновь убедились в том, как важно для получения правильных выводов при анализе экспериментальных данных строго соблюдать все требования, которые были положены в основу определения того или иного критерия.
Рассмотренные модификации критерия Стьюдента предназначаются для проверки гипотез относительно средних двух выборок. Однако возникают ситуации, когда появляется необходимость сделать выводы относительно равенства одновременно k средних. Для этого случая тоже разработана определенная статистическая процедура, которая будет рассмотрена в дальнейшем при обсуждении вопросов, связанных с дисперсионным анализом.
2 Критерии согласия для дисперсий
Проверка статистических гипотез относительно дисперсий генеральных совокупностей проводится в той же последовательности, что и для средних. Напомним вкратце эту последовательность.
1. Формулируется нулевая гипотеза (об отсутствии статистически значимых различий между сравниваемыми дисперсиями).
2. Делаются некоторые предположения относительно выборочного распределения статистики, с помощью которой планируется оценивать параметр, входящий в гипотезу.
3. Выбирается уровень значимости для проверкигипотезы.
4. Рассчитывается значение интересующей нас статистики и принимается решение относительно истинности нулевой гипотезы.
А теперь начнем с проверки гипотезы о том, что дисперсия генеральной совокупности =a, т.е. против. Если предположить, что переменная x имеет нормальное распределение, и что выборка объема n извлекается из генеральной совокупности случайно, то для проверки нулевой гипотезы используется статистика
(10)
Вспомнив формулу для расчета дисперсии, перепишем (10) так:
. (11)
Из этого выражения видно, что числитель представляет собой сумму квадратов отклонений нормально распределенных величин от их среднего. Каждое из этих отклонений также распределено нормально. Поэтому в соответствии с известным нам распределением суммы квадратов нормально распределенных величин статистики (10) и (11) имеют -распределение с n-1 степенью свободы.
По аналогии с использованием t-распределения при проверке для выбранного уровня значимости по таблице распределения устанавливают критические точки, соответствующие вероятностям принятия нулевой гипотезы и. Доверительный интервал для при выбранном строится следующим образом:
. (12)
Рассмотрим пример. Пусть на основании обширных экспериментальных исследований установлено, что дисперсия содержания алкалоидов одного вида растений из определенного района равна 4,37 условных единиц. В распоряжение специалиста попадает выборка объемом n = 28 таких растений, предположительно из того же района. Проведенный анализ показал, что для этой выборки =5,01 и нужно убедиться в том, что эта и известная ранее дисперсии статистически неразличимы на уровне значимости =0,1.
По формуле (10) имеем
Полученную величину необходимо сравнить с критическими значениями /2=0,05 и 1--/2=0,95. Из таблицы Приложения для с 27 степенями свободы имеем соответственно 40,1 и 16,2, откуда следует, что нулевая гипотеза может быть принята. Соответствующий доверительный интервал для равен 3,37<<8,35.
В отличии от проверки гипотез относительно выборочных средних с использованием критерия Стьюдента, когда ошибки первого и второго рода несущественно менялись при нарушении предположения о нормальном распределении генеральных совокупностей, в случае гипотез о дисперсиях при невыполнении условий нормальности ошибки меняются существенно.
Рассмотренная выше задача о равенстве дисперсии некоторому фиксированному значению представляет ограниченный интерес, так как довольно редко встречаются ситуации, когда известна дисперсия генеральной совокупности. Значительно больший интерес представляет случай, когда нужно проверить, равны ли дисперсии двух совокупностей, т.е. проверка гипотезы против альтернативы. При этом предполагается, что выборки объемом и случайно извлекаются из генеральных совокупностей с дисперсиями и.
Для проверки нулевой гипотезы используется критерий отношения дисперсий Фишера
(13)
Так как суммы квадратов отклонений нормально распределенных случайных величин от их средних значений имеют распределение, то и числитель и знаменатель (13) представляют собой величины с распределением, поделенные соответственно на и, и следовательно, их отношение имеет F-распределение с -1 и -1 степенями свободы.
Общепринято - и так построены таблицы F-распределения, - что в качестве числителя в (13) берется большая из дисперсий, и поэтому определяется только одна критическая точка, соответствующая выбранному уровню значимости.
Пусть в нашем распоряжении оказались две выборки объемом =11 и =28 из популяций обыкновенных и овальных прудовиков, для которых отношения высоты к ширине имеют дисперсии =0,59 и =0,38. Необходимо проверить гипотезу о равенстве этих дисперсий этих показателей для изучаемых популяций при уровне значимости =0,05. Имеем
В литературе иногда можно встретить утверждение о том, что проверке гипотезы о равенстве средних по критерию Стьюдента должна предшествовать проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Это неправильная рекомендация. Более того, она может привести к ошибкам, которых можно избежать, если ей не следовать.
В самом деле, результаты проверки гипотезы о равенстве дисперсий с использованием критерия Фишера в значительной мере зависят от предположения о том, что выборки взяты из совокупностей с нормальным распределением. В то же время критерий Стьюдента малочувствителен к нарушениям нормальности, и если удается получить выборки равного объема, то предположение о равенстве дисперсий также не является существенным. В случае неравных n следует пользоваться для проверки формулами (7) и (8).
При проверке гипотез о равенстве дисперсий возникают некоторые особенности в расчетах, связанных с зависимыми выборками. В этом случае для проверки гипотезы против альтернативы используется статистика
(14)
Если нулевая гипотеза справедлива, то статистика (14) имеет t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.
При измерении блеска 35 образцов покрытий была получена дисперсия =134,5. Повторные измерения через две недели показали =199,1. При этом коэффициент корреляции между парными измерениями оказался равным =0,876. Если не обращать внимание на то, что выборки зависимы и воспользоваться критерием Фишера для проверки гипотезы, то получим F=1,48. Если выбрать уровень значимости =0,05, то нулевая гипотеза будет принята, так как критическое значение F-распределения для =35-1=34 и =35-1=34 степеней свободы равно 1,79.
В то же время, если использовать подходящую для данного случая формулу (14), то получим t=2,35, в то время как критическое значение t для 33 степеней свободы и выбранного уровня значимости =0,05 равно 2,03. Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве дисперсий в этих двух выборках должна быть отклонена. Таким образом, из этого примера видно, что, как и в случае проверки гипотезы о равенстве средних, использование критерия, не учитывающего специфику экспериментальных данных, приводит к ошибке.
В рекомендуемой литературе можно найти критерий Бартлетта, используемый при проверке гипотез об одновременном равенстве k дисперсий. Кроме того, что вычисления статистики этого критерия довольно трудоемки, основной недостаток этого критерия в том, что он необычайно чувствителен к отклонениям от предположения о нормальности распределений совокупностей из которых извлекаются выборки. Таким образом, при его использовании никогда нельзя быть уверенным в том, что нулевая гипотеза отклонена в самом деле из-за того, что статистически значимо различаются дисперсии, а не из-за того, что выборки не имеют нормального распределения. Поэтому в случае возникновения проблемы сравнения нескольких дисперсий необходимо искать такую постановку задачи, когда можно будет использовать критерий Фишера или его модификации.
3 Критерии согласия относительно долей
Довольно часто приходится анализировать совокупности, в которых объекты могут быть отнесены к одной из двух категорий. Например, по принадлежности к полу в некоторой популяции, по наличию некоторого микроэлемента в почве, по темной или светлой окраске яиц у некоторых видов птиц и т.д.
Долю элементов, обладающих определенным качеством, обозначим через P, где P представляет собой отношение объектов с интересующим нас качеством ко всем объектам в совокупности.
где