Совокупность разных точностей и различных отклонений для образования разнообразных посадок и их построение называется системой допусков .

Система допусков подразделяется на систему отверстия и систему вала .

Система отверстия - это совокупность посадок , в которых при одном классе точности и одном номинальном размере предельные размеры отверстия остаются постоянными, а различные посадки достигаются путем изменения предельных отклонений валов. Во всех стандартных посадках системы отверстия нижнее отклонение отверстия равно нулю. Такое отверстие называется основным.

Система вала - это совокупность посадок , в которых предельные отклонения вала одинаковы (при одном номинальном размере и одном классе точности), а различные посадки достигаются путем изменения предельных отношений отверстия. Во всех стандартных посадках системы вала верхнее отклонение вала равно нулю. Такой вал называется основным.

Поля допусков основных отверстий обозначаются буквой А, а основных валов - буквой В с числовым индексом класса точности (для 2-го класса точности индекс 2 не указывается): А1, А, А2а,А3а, А4 и А5, В1 В2, В2а, В3, В3а, В4, В5. Общесоюзными стандартами установлены допуски и посадки гладких соединений.

Посадки в системе отверстия и в системе вала

Посадки во всех системах образуются сочетанием полей допусков . отверстия и вала.

Стандартами установлены две равноправные системы образования посадок : система отверстия и система вала . Посадки в системе отверстия - посадки , в которых различные зазоры и натяги допусков валов с одним (основным) полем допуска отверстия.

Посадки в системе вала - посадки , в которых различные зазоры и натяги получают сочетанием различных полей допусков отверстий с одним (основным) полем допуска вала.

Обозначают посадки записью полей допусков отверстия и вала, обычно в виде дроби. При этом поле допуска отверстия всегда указывается в числителе дроби, а поле допуска вала - в знаменателе.

Пример обозначения посадки Н7 30-или 30 Н7 / g6 .

Эта запись означает, что сопряжение выполнено для номинального размера 30 мм, в системе отверстия , так как поле допуска отверстия обозначено Н7 (основное отклонение для Н равно нулю и соответствует обозначению основного отверстия, а цифра 7 показывает, что допуск для отверстия надо брать по седьмому квалитету для интервала размеров (свыше 18 до 40 мм), в который входит размер 30 мм); поле допуска вала g6 (основное отклонение g с допуском по квалитету 6).

Посадка : 080 F7 / h6 или 0 80

Эта запись означает, что сопряжение выполнено для цилиндрического сопряжения с номинальным диаметром 80 мм в системе вала , так как поле допуска вала обозначено h6 (основное отклонение для h равно нулю и соответствует обозначению основного вала, а цифра 6 показывает, что допуск для вала надо брать по шестому квалитету для интервала размеров (свыше 50 до 80 мм, к которому относится размер 80 мм); поле допуска отверстия F7 (основное отклонение F с допуском по квалитету 7).

В этих примерах числовые значения отклонений валов и отверстий не указаны, их надо определить по таблицам стандартов. Это неудобно для непосредственных изготовителей изделий в условиях производства, поэтому рекомендуется указывать на чертежах так называемое смешанное обозначение требований к точности размеров элементов деталей.

При таком обозначении рабочему виден и характер сопряжения и известны значения допускаемых отклонений для вала и отверстия.

Легко переводить посадки из одной системы в другую не меняя характера сопряжения, при этом квалитеты у отверстия и вала сохраняют, а заменяют основные отклонения, например:

08OF7/h6 -> 08OH7/f6.

Пример обозначения посадки по системе ОСТ: 20 А з / С. Эта запись указывает, что данная посадка для номинального размера 20 мм выполнена в системе отверстия (буквой А обозначают отклонение основного отверстия, которое приведено в числителе). Отверстие выполнено с допуском по третьему классу точности и об этом говорит индекс при обозначении поля допуска отверстия. Вал выполнен по второму классу точности и на это указывает отсутствие индекса у буквы обозначающей поле допуска вала С, которое предназначено для образования посадки скольжения.

Посадки в ЕСДП.

В ЕСДП сами посадки непосредственно не нормируются. В принципе пользователь системы может применять для образования посадок любые сочетания нормируемых полей допусков валов и отверстий. Но экономически такое многообразие не оправдано. Поэтому в информационном приложении к стандарту даются рекомендуемые посадки в системе отверстия и в системе вала .

Для образования посадок используют квалитеты с 5 до 12 для отверстий и с 4 до 12 для валов.

Всего рекомендуется для использования 68 посадок , из которых так же как и для полей допусков выделены посадки предпочтительного применения. Таких посадок в системе отверстия 17 и в системе вала 10. На этих же рисунках указаны и обозначения посадок , предусмотренных для диапазона размеров до 500 мм. Такого количества Посадок вполне достаточно для конструкторской деятельности при проектировании новых разработок. При этом стараются сочетать большие допуски для отверстий, чем допуски вала, обычно на один квалитет. Для более грубых посадок берут одинаковые допуски на вал и отверстие (один квалитет).

Нужно помнить, что изготовление отверстия обходится дороже, чем изготовление вала той же точности. Поэтому из экономических соображений выгоднее использовать систему отверстия , а не с истему вала . Но иногда оказывается необходимым применение системы вала.

Случаи применения посадок в системе вала.

Такие случаи редки и их применение объясняется не только экономическими соображениями. Посадки в системе вала применяют, если на вал одного диаметра необходимо установить несколько деталей с разными видами посадок .

Посадкой называют характер соединения деталей, определяемый величиной получающихся в нем зазоров и натягов . Посадка характеризует большую или меньшую свободу относительного перемещения соединяемых деталей или степень их взаимного смещения.

Для получения подвижной посадки необходимо, чтобы размер охватываемой поверхности был меньше размера охватывающей поверхности, то есть, при соединении вала с отверстием диаметр вала должен быть меньше диаметра отверстия. Разность между этими диаметрами называют зазором .

Наибольший зазор - это положительная разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала.

Наименьшим зазором - это положительная разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала.

При неподвижной посадке диаметр вала должен быть несколько больше диаметра отверстия. Разность между этими диаметрами называют натягом . Для соединения деталей с натягом прилагают некоторое усилие (удары, прессование).

Натяг для одной и той же неподвижной посадки может изменяться, быть большим или меньшим соответственно изменению действительных размеров вала и отверстия, колеблющихся между их предельными размерами. Таким образом, различают наибольший и наименьший допустимые натяги .

Наибольший натяг - это отрицательная разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия.

Наименьший натяг - отрицательная разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия. Графическое изображение зазоров и натягов показано на рисунках

Группы посадок

Посадки разделяют на три основные группы: подвижные, неподвижные и переходные. Если при сопряжении получается зазор , то посадка является подвижной, а если натяг - неподвижной. В переходных посадках разность диаметров вала и отверстия относительно мала, здесь могут быть как небольшие зазоры , так и небольшие натяги .

Таблица названия посадок

Группа	Наименование посадок	Обозначение	Характер соединения
Неподвижные	Горячая Прессовая 3-я Прессовая 2-я Прессовая 1-я Прессовая Легкопрессовая	Гр Пр3 Пр2 Пр1 Пр Пл	Диаметр отверстия у этих посадок меньше диаметра вала, что характеризует посадку, обеспечивающую натяг Для легкопрессовой посадки наименьший натяг равен нулю
Переходные	Глухая Тугая Напряженная Плотная	Г Т Н П	Диаметр отверстия у этих посадок может быть меньше или равен диаметру вала
Подвижные	Скользящая Движения Ходовая Легкоходовая Широко ходовая Широкоходовая 1-я Широкоходовая 2-я Теплоходовая	С Д Х Л Ш Ш1 Ш2 ТХ	Диаметр отверстия у этих посадок больше диаметра вала, что характеризует посадку, обеспечивающую зазор Для скользящей посадки наименьший зазор равен нулю

Неподвижные посадки .

Прессовые посадки (Пр, Пр1, Пр2, Пр3) применяют, когда требуется жесткое соединение деталей без дополнительного закрепления их шпонками, шпильками, стопорами и т. д. Посадку Пр1 используют при запрессовке втулок в зубчатые колеса и шкивы, клапанных седел - в гнезда. Посадки Пр, Пр2 и Пр3 - в соединениях, принимающих в процессе работы большие ударные нагрузки (в соединениях зубчатых венцов с ободом червячных и других зубчатых колес, пальцев кривошипов с их дисками и т. п.).

Легкопрессовую посадку (Пл) применяют в тех же случаях, что и посадку Пр1, но она дает несколько меньшие натяги . Детали, имеющие прессовые посадки , собирают на прессах различной мощности.

Горячая посадка (Гр) предназначена для соединения деталей наглухо и обеспечивает прочные неразъемные соединения деталей.

Переходные посадки . Глухую посадку (Г) применяют для получения плотного неподвижного соединения деталей, например, для крепления втулок в неразъемных подшипниках, которые необходимо закреплять шпонками, шпильками или стопорами, чтобы предохранить от проворачивания во время эксплуатации.

Тугая посадка (Т) предназначена для соединения деталей, которые во время работы должны сохранять неизменное положение и которые собирают и разбирают со значительным усилием. Тугую посадку используют для установки внутренних колец шарикоподшипников, зубчатых колес и шкивов на валы и т. д.

Напряженная посадка (Н) применяется для плотного соединения деталей при помощи легких ударов.

Плотную посадку (П) применяют для соединения деталей, которые не должны смещаться одна относительно другой, но с приложением значительных усилий могут быть собраны и разобраны вручную или с помощью легких ударов молотка.

Подвижные посадки .

Скользящую посадку (С) применяют для соединения деталей, плотно входящих одна в другую, чтобы обеспечить точное направление (соосность). Эта посадка дает самые малые зазоры в соединениях (например, шпиндели сверлильных станков, кулачковые муфты сцепления, сменные зубчатые колеса в станках, фрезы на оправках и т. д.).

Посадка движения (Д) предназначена для соединения деталей, которые перемещаются одна относительно другой с небольшим, но обязательным зазором и с небольшими скоростями движения (шпиндели делительных головок и различных приборов, сменные кондукторные втулки и т. д.).

Ходовая посадка (X) предназначена для соединений, в которых детали и узлы вращаются с умеренной скоростью (шпиндели токарных станков, шейки которых вращаются в подшипниках скольжения, а также коленчатые и кулачковые валы в соединениях с подшипниками и втулками, зубчатые колеса коробок передач тракторов, автомобилей и т. д.).

Легкоходовая посадка (Л) используется в соединениях, где детали вращаются с большими скоростями, но при небольших давлениях на опоры (например, валы ротора электродвигателя и привода круглошлифовального станка и т. п.).

Широкоходовая посадка (Ш) характеризуется наибольшими зазорами, обеспечивающими свободное перемещение деталей относительно друг друга, и применяется для валов, вращающихся в подшипниках с очень большими скоростями, валов турбогенераторов, текстильных машин и т. д.

Характеризуются наличием гарантированного натяга , то есть при этих посадках наименьший натяг больше нуля. Следовательно, для получения неподвижной посадки необходимо, чтобы диаметр сопрягаемого вала был больше диаметра сопрягаемого отверстия.

Горячая посадка (Гр) применяется присоединениях таких деталей, которые никогда не должны разбираться, например бандажи железнодорожных колес, стяжные кольца и прочее.

Для получения этой посадки деталь с отверстием нагревается до температуры 150° -500°, после чего производится насадка на вал.

Несмотря на получение в результате такой посадки более прочных соединений, чем при других видах посадок , она имеет отрицательные свойства - возникают внутренние напряжения в деталях и изменяется структура металла.

Прессовая посадка (Пр) применяется для прочного соединения деталей. Эта посадка осуществляется под значительным усилием гидравлического или механического пресса или специального приспособления. Примером такой посадки может служить посадка втулок, зубчатых колес, шкивов и пр.

Легко прессовая посадка (Пл) применяется в тех случаях, когда требуется возможно более прочное соединение и в то же время недопустима сильная запрессовка из-за ненадежности материала или из-за опасения деформировать детали.

Такая посадка осуществляется под легким давлением пресса.

Переходные посадки.

Не гарантируют натяга или зазора , то есть, одна пара деталей, соединенных с одной из переходных посадок, может иметь натяг , а другая пара, сопряженная с такой же посадкой , зазор . Чтобы повысить степень неподвижности деталей, соединенных с переходными посадками , применяется дополнительное крепление винтами, штифтами и т. п. Чаще всего эти посадки применяются при необходимости обеспечить соосность, т. е. совпадение осевых линий двух деталей, например вала и втулки.

Глухая посадка (Г) применяется для соединения деталей, которые при всех условиях работы должны быть связаны прочно и могут быть собраны или разобраны при значительном давлении. При таком соединении детали дополнительно крепят шпонками, стопорными винтами, например зубчатые колеса, которые вследствие износа должны подвергаться смене, планшайбы на шпинделях токарных станков, неразрезные подшипниковые втулки, золотниковые и круглые втулки и пр. Осуществляется эта посадка сильными ударами молотка.

Тугая посадка (Т) применяется для часто разбираемых соединений, детали которых должны прочно соединяться и могут быть собраны или разобраны со значительным усилием.

Напряженная посадка (Н) применяется для соединения таких деталей, которые при работе должны сохранять свое относительное положение и могут быть собраны или разобраны без значительных усилий с помощью ручного молотка или съемника. Чтобы соединенные с такой посадкой детали не проворачивались и не сдвигались, их закрепляют шпонками или стопорными винтами. Эта посадка , осуществляемая ударами молотка, применяется для соединения зубчатых колес, часто сменяющихся втулок подшипников, которые при разборке машин вынимаются, подшипников качения на валах, шкивах, сальниковых втулок, маховиков на кривошипных и иных валах, фланцах и т. п.

Плотная посадка (П) применяется для соединения таких деталей, которые собирают или разбирают вручную или же при помощи деревянного молотка. С такой посадкой соединяются детали, требующие точной центровки: поршневые штоки, эксцентрики на валах, ручных маховичках, шпинделях, сменных шестернях, установочных кольцах и т. п.

В тех случаях, когда осуществление посадки под прессом невозможно в силу больших габаритов сопрягаемых деталей, используют горячую посадку.

Посадка с нагревом заключается в том, что одна из сопрягаемых деталей (охватывающая) нагревается до необходимой температуры, достаточной для свободной посадки на другую (охватываемую) деталь. Температура нагрева зависит от размера сопрягаемой детали и заданной величины натяга . Подогрев можно осуществить в ёмкости с кипящей водой, горячим маслом или паром, когда расчетная температура нагретой детали не превышает 100-120°С.

Этот способ имеет то преимущество. Детали нагреваются равномерно и исключается их деформация. Нагрев деталей в горячем минеральном масле исключает к тому же появление возможной коррозии, что является преимуществом при посадке на вал подшипников качения и других деталей.

Нагревание деталей может производиться в газовых или электрических нагревательных печах сразу партией, что обеспечивает непрерывность в работе при серийном и массовом производстве. В данном случае также обеспечивается равномерный нагрев деталей, кроме того, необходимая температура может быть отрегулирована в нужных пределах с высокой точностью.

Нагревание электрическим током методом сопротивления или индукцией используется главным образом при горячей посадке крупных деталей. Для этой цели применяются специальные индукторы или спирали, которые надеваются или вставляются в одну из деталей и при пропускании через них электрического тока высокой или промышленной частоты вызывают нагрев детали.

Так, например, с помощью токов промышленной частоты (ТПЧ) обеспечивается нагрев крупных деталей шестерен, муфт, катков, шарикоподшипников и других деталей, имеющих размер посадочного отверстия 300 мм при наружном диаметре детали до 1000 мм и ширине 350 мм.

При запрессовке обеспечиваются прессовые, тугие и скользящие посадки , выполненные по 2-му и 3-му классам точности. Время нагрева деталей указанных габаритов до температуры 150-200°С длится всего лишь 15-20 мин.

Для стальных деталей, необходимая температура нагрева охватывающей детали подсчитывается по формуле:

t=(1350/D + 90)°С,

где D - посадочный диаметр детали, мм.

Тема: «Посадки, характеристика посадок, графическое изображение посадок в системе отверстия, в системе вала».

1.Сопрягаемые и несопрягаемые поверхности.

2.Характеристика посадок.

3.Зазор и условия его образования.

4.Натяг и условия его образования.

5.Графическое изображение посадок в системе вала, в системе отверстия.

6.Определение группы посадки по чертежам сопрягаемых деталей.

Все разнообразные машины, станки, приборы, механизмы состоят из деталей, имеющих сопрягаемые и несопрягаемые поверхности.

Сопрягаемые поверхности – это поверхности, по которым детали соединяются в сборочные единицы (узлы).

^ Несопрягаемые (свободные) – это конструктивно необходимые поверхности, не предназначенные для соединения с поверхностями других деталей.

Конструкции соединений деталей и требования к ним могут быть различными. В зависимости от назначения соединения конструктивные элементы деталей с сопрягаемыми поверхностями, имеющими одинаковый номинальный размер, должны во время работы механизма или машины либо обеспечить возможность движения деталей друг относительно друг друга.

Для обеспечения подвижности соединения нужно, чтобы действительный размер охватывающего элемента одной детали (отверстия) был больше действительного размера охватываемого элемента другой детали (вала). Разность действительных размеров отверстия и вала, если размер отверстия больше размера вала, называется зазором.

Для получения неподвижного соединения нужно, чтобы действительный размер охватываемого элемента одной детали (вала) был больше действительного размера охватывающего элемента другой детали (отверстия). Разность действительных размеров вала и отверстия до сборки, если размер вала больше размера отверстия, называется натягом.

Сопряжение, образуемое в результате соединения отверстий и валов (охватывающих и охватываемых элементов деталей) с одинаковыми номинальными размерами, называют посадкой .

Посадка – это характер соединения деталей, определяемый величиной получающихся в нем зазоров или натягов.

Поскольку действительные размеры годных отверстий и валов в партии деталей, изготовленных по одним и тем же чертежам, могут колебаться между заданными предельными размерами, то, следовательно, и величина зазоров и натягов может колебаться в зависимости от действительных размеров сопрягаемых деталей. Поэтому различают наибольший и наименьший зазоры и соответственно наибольший и наименьший натяги.

Наибольший зазор S=D- d

Наименьший зазор S=D- d

Где D, D- наибольший и наименьший предельный размер отверстия

D, d- наибольший и наименьший предельный размер вала

Наибольший натяг N= d- D

Наименьший натяг N= d- D

Пример: 1 На чертеже отверстия указан размер 50
, а на чертеже вала – размер 50
.Проведем необходимые расчеты.

Предельные размеры отверстия, мм: наибольший 50,0+0,02=50,02; наименьший 50,00.

Предельные размеры вала, мм: наибольший 50,00-0,03=49,97; наименьший 50,00-0,06=49,94.

Зазор, мм: наибольший 50,02-49,94=0,08; наименьший 50,0-49,97=0,03.

Пример 2 . На чертеже отверстия указан размер 50+ 0 - 02 , а на чертеже вала - размер 50

Предельные размеры отверстия, мм: наибольший 50,00+0,02-=50,02; наименьший 50,00.

Предельные размеры вала, мм: наибольший 50,00+0,05=50,05; наименьший 50,00+0,03=50,03.

Натяг, мм: наибольший 50,05-50,00 = 0,05; наименьший 50,03-50,02=0,01.

Построение схемы посадки начинается с проведения нулевой линии, соответствующей номинальному размеру соединения (номинальные размеры отверстия и вала, составляющих соединение, или, что то же самое, образующих посадку, одинаковы). От нулевой линии, единой для отверстия и вала, откладывают в выбранном масштабе с учетом знаков величины предельных отклонений отверстия и вала; между линиями, соответствующими верхним и нижним отклонениям, получаем поля допусков сопрягаемых отверстия и вала. И, наконец, в соответствии с приведенными выше определениями выявляются на схемах наиболь­шие и наименьшие зазоры и натяги

Наименьший зазор S mih

" На ибольший -зазор

* тах

Наибольший зазор S ma

На рисунке видно, что при графическом изображении посадки с зазором поле допуска отверстия располагается над полем допуска вала, т. е. размеры годного отверстия всегда больше размеров годного вала, как и было отмечено ранее при введении понятия «зазор».

Наименьшии ий натяг /Улнп

Наибольший натяг N max /Ушах

Точно так же на рисунке видно, что при графическом изображении посадки с натягом поле допуска отверстия расположено под полем допуска вала, т. е.

размеры годного отверстия всегда меньше размеров годного вала, как и было отмечено ранее при введе­нии понятия «натяг».

Приведенные выше числовые примеры и соответствующие им графические построения не исчерпывают всех возможных групп посадок. Наряду с посадками с зазором и посадками с натягом, когда зазор или соответственно натяг в соединении гарантируется сопряжением любых годных отверстий и валов, возможен и такой вариант, когда предельные размеры сопрягаемых деталей не гарантируют получение в сопряжении только зазора или только натяга. Такие посадки называются переходными. В этом случае возможно получение, как зазора, так и натяга, конкретный характер соединения будет зависеть от действительных размеров сопрягаемых годных отвер­стий и валов. Покажем это на примере.

Пример 3 . На чертеже отверстия указан размер 50 +0,02 , а на чертеже вала -50
. Проведем необходимые расчеты.

Предельные размеры отверстия, мм: наибольший 50,00+0,02=50,02; наименьший 50,00.

Предельные размеры вала, мм: наибольший 50,00+0,03=50,03; наименьший 50,00+0,01=50,01.

Если представить соединение отверстия, имеющего наибольший предельный размер, с валом, имеющим наименьший предельный размер, то образуется посадка с зазором, так как отверстие больше вала, при этом зазор будет наибольшим и равным 50,02-50,01=0,01 мм.

Если же представить соединение отверстия, имеющего наименьший предельный размер, с валом, имеющим наибольший предельный размер, то образуется посадка с натягом, так как вал больше отверстия, при этом натяг будет наибольшим и равным 50,03-50,00=0,03 мм.

натяг /Nтах

При графическом изображении переходной посадки поля допусков

отверстия и вала перекрываются, т. е. размеры годного отверстия могут оказаться и больше и меньше размера годного вала, что и не позволяет заранее, до изготовления пары сопрягаемых деталей, сказать, какая будет посадка - с зазором или натягом.

Посадка с гарантированным зазором используется в тех случаях, когда допускается относительное смещение деталей; посадки с гарантированным натягом- когда необходимо передавать усилие или вращающий момент без дополнительного крепления только за счет упругих деформаций, возникающих при сборке сопрягаемых деталей.

Переходные посадки имеют небольшие предельные зазоры и натяги и поэтому их применяют в тех случаях, когда необходимо обеспечить центрирование деталей, т. е. совпадение осей отверстия и вала; при этом требуется дополнительное закрепление соединяемых деталей.

Посадки всех трех групп - с зазорами, с натягами, переходные с различными величинами наибольших и наименьших зазоров и натягов - можно получить при одном и том же номинальном размере, изменяя положение полей допусков обеих сопрягаемых деталей - отверстия и вала. Но, очевидно, таких сочетаний может оказаться бесчисленное множество, что привело бы к невозможности централизованного изготовления мерного режущего инструмента (сверл, зенкеров, разверток), формирующего размер отверстия.

Гораздо удобнее в технологическом (при изготовлении) и эксплуатационном (при ремонте) отношениях получать разнообразные посадки, изменяя положение поля допуска только одной детали при неизменном положении поля допуска другой.

Например, разные посадки, рассмотренные в примерах 1, 2, 3, образованы изменением только полей допуска валов при постоянном поле допуска отверстий. Такой способ образования различных посадок называется системой отверстия. Деталь, у которой положение поля допуска является базовым и не зависит от требуемого характера соединения, называют основной деталью системы (в рассмотренном случае - отверстие). Аналогичные посадки могут быть получены по-иному, если за основную деталь принять вал, а для образования различных посадок изменять поля допусков отверстий. Такой способ образования называется системой вала.

Таким образом, посадки в системе отверстия - это посадки, в которых различные зазоры и натяги получаются соединением различных валов с основным отверстием посадки в системе вала - это -по садки, в которых различные зазоры и натяги получаются соединением различных отверстий с основным валом

В практике машиностроения предпочтение отдается системе отверстия, поскольку изготовить отверстие и измерить его значительно труднее и дороже, чем изготовить и измерить с той же точностью вал такого же размера.

(рисунок)

Так, валы различной точности (и высокой) можно обрабатывать и измерять универсальными инструментами - резцами, шлифовальными кругами, микрометрами и т.д. А для обработки и измерения точных отверстий потребуются специальные дорогостоящие инструменты (зенкеры, развертки, протяжки, калибры-пробки). Число комплектов таких инструментов, необходимых для обработки отверстий с одинаковым номинальным размером, зависит от разнообразия предельных отклонений, которые могут быть назначены конструктором. Допустим, требуется изготовить три комплекта деталей одинаковых номинальных размеров и одинаковой точности для образования посадок с зазором, натягом и переходной. Если принять систему отверстия, то предельные размеры отверстий для всех посадок будут одинаковы и для обработки и измерения отверстий потребуется только один комплект специальных инструментов.

Чтобы сделать еще более удобным назначение посадок для конструктора и обработку деталей для рабочего, условились, что поля допусков основных деталей систем посадок должны удовлетворять одному обязательному условию: один из предельных размеров основной детали должен совпадать с номинальным размером. Причем для основного отверстия таким предельным размером должен быть наименьший (или, что то же самое, нижнее предельное отклонение основного отверстия должно быть равно нулю, а основного вала – наибольший (или, что то же самое, верхнее предельное отклонение основного вала должно быть равно нулю).

Допуск основной детали системы посадок всегда направлен «в тело» этой детали: в случае основного отверстия – на увеличение предельного размера по сравнению с номинальным; в случае основного вала – на уменьшение предельного размера по сравнению с номинальным.

Контрольные вопросы:

1.Что такое посадка?

2.Чем характеризуется посадка?

3.Что такое зазор и каковы условия его образования?

4. Что такое натяг и каковы условия его образования?

5.Как образуются посадки в системе отверстия?

6. Как образуются посадки в системе вала?

7.Как по взаимному расположению полей допусков отверстия и вала при графическом изображении посадки определить характер соединения?

Условия существования дуги

Газы и пары материалов состоят из нейтральных атомов и молекул, а потому не электропроводны. Газовая среда становится проводником электрического тока при возникновении в ней электрически заряженных частиц – электронов и ионов, т.е. когда газ ионизирован (полностью или частично).

Ионизация – образование из атомов положительных или отрицательных ионов.

В процессе существования дугового разряда катодное пятно эмитирует (испускает) электроны, которые под действием электрического поля движутся к аноду. Энергия, затраченная на испускание одного электрона, называется работой выхода . При сварке плавящимся электродам эту энергию получают за счет теплоты, выделяющейся на торце электрода при прохождении тока короткого замыкания в момент кратковременного касания электродом изделия. Электроны разгоняются электрическим полем в катодном пространстве и приобретают энергию, необходимую для ионизации нейтральных атомов при столкновении с ними, по схеме.

ē → А 0 = А + +2ē

где: А 0 – нейтральный атом; ē – заряд электрона, равный 1,59∙10 -19 Кл (Кулона); А + - положительный ион.

Таким образом, для возникновения электрической дуги необходимы условия:

Эмиссия электронов с поверхности катода;

Объемная ионизация в межэлектродном пространстве (дуговом промежутке);

Наличие разности потенциалов.

В столбе дуги, наряду с ионизацией, происходит обратный процесс, называемый рекомбинацией, т.е. образование нейтральных частиц при взаимодействии положительных ионов с электронами. При рекомбинации затраченная на ионизацию энергия, выделяется в виде мощного потока инфракрасного, светового и ультрафиолетового излучения.

ē → А + = А 0 + Q + hυ

где: Q – теплота, идущая на нагрев столба дуги; h – постоянная планка, эрг/с; υ – частота колебаний, I/с.

Возбуждение дуги можно осуществить способами:

Коротким замыканием электрода на деталь;

Путем приложения к электродам высокого напряжения.

В первом случае происходит нагрев катода до высокой температуры, благодаря чему после размыкания возникает электронная эмиссия и, как следствие, ионизация газового промежутка.

Во втором случае параллельно электрической цепи подключают специальный прибор – осциллятор, подающий на дуговой промежуток импульсы высокого напряжения 2…15 кВ с частотой 50…160 кГц, но малой мощности. Высокая частота устраняет опасность поражения сварщика током высокого напряжения.

Статическая вольт - амперная характеристика

сварочной дуги

Статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ) дуги является зависимость напряжения дуги от величины сварочного тока при устойчивом ее горении и заданных постоянных условиях.

Устойчивое горение дуги – это возможность гореть не ограниченное время при заданных условиях или время сосуществование дуги не соизмеримо велико со временем протекания в ней переходных процессов.

К заданным условиям относятся длина дуги (расстояние между электродами или основным металлом и электродом), диаметр электрода, материал электрода и основного металла, а так же среда, в которой горит дуга (рис.2).

ВАХ дуги имеет три ярко выраженных участка.

Первый участок – падающий . (а-б)

При малых токах и повышенном напряжении дуга перемещается, т.е. анодное пятно меняет место, и столб дуги не прямолинейный.

Рис. 2 Статистическая вольт – амперная характеристика дуги.

При малых токах и повышенном напряжении дуга перемещается, т.е. анодное пятно меняет место, и столб дуги не прямолинейный. С ростом тока столб дуги спрямляется и резко возрастает его проводимость, в результате него напряжение на дуге падает.

Второй участок – горизонтальный .(б-в)

Столб дуги прямолинейный, анодное пятно фиксируется. С ростом тока увеличивается проводимость столба за счет роста диаметра столба дуги и катодного – анодного пятна до диаметра электрода при этом напряжение на дуге практически остается постоянным.

Третий участок– возрастающий .(в-г)

Катодное и анодное пятно не растет с увеличением тока дуги. Проводимость и сопротивление ее остаются постоянными, в тоже время напряжение на дуге растет. На данном участке ВАХ выполняется закон Ома. Изменение ВАХ дуги в зависимости от условий горения дуги представлено на рис. 3.

Рис 3. Статическая вольт-амперная характеристика дуги при изменении а- длины дуги l g и б- диаметра электрода dэл.

Температура в дуге

Дуга постоянного тока характеризуется неодинаковым выделением тепла на аноде и катоде. Данные о температуре катодного и анодного пятен в зависимости от материала электродов при горении дуги в воздухе приведены в табл. 1.

Таблица 1

Температуры анодных и катодных пятен для различных материалов.

Анализ таблицы 1 показывает, что при открытых дугах, горящих в воздухе, анод нагревается интенсивнее, чем катод. Это позволяет судить о полярности электродов по степени нагрева анода и катода при горении дуги.

Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.

Определение 1. Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: .

Определение 2. Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую без "дыр". Множество непрерывно.

Свойство непрерывности R. Пусть – произвольные множества из и и выполняется . Тогда и выполняется .

1. Модуль действительного числа и его свойства

Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а |, определяемое формулой:

Геометрический смысл модуля : | | –расстояние от точки 0 до точки а на числовой оси.

Из определения модуля вытекают его свойства.

Cвойства модуля:

2 . -|а| а |а|.

3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).

4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).

5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|

6 . |а-b| |а|+|b|

7 . |а-b|³|а|-|b|

8 .|а+b|³|а|-|b|

9 .

10 .

.

12 . 1)

2)

2. Числовое множество. Примеры числовых множеств. Окрестности. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Достаточное условие существования верхней (нижней) грани множества.

Определение.

Числовое множество – множество, элементами которого являются действительные числа.

Примеры числовых множеств.

1) Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток) .

2) Интервал (открытый промежуток) .

3) Полуинтервалы

1)-3) называются промежутками и обозначаются .

4) Бесконечные промежутки:

, ,

,

вся числовая прямая.

4. Окрестность точки

Пусть .

Определение 1. Окрестностью точки а называется произвольный интервал, содержащий точку а . Обозначается V(a ).

Определение 2. - окрестностью точкиа называется интервал с центром в точке а ирадиусом . Обозначается V(a ;e ).

V(a ;e )=(a-e;a+e ) или V(a ;e )= , V(a ;e )= .

У каждой точки существует бесконечно много - окрестностей.

Определение 3. Проколотой - окрестностью точки а называется

- окрестность без точки а . Обозначается

.

= .

Определение 4.

– -окрестность точки + ,

– -окрестность точки - ,

- -окрестность точки .

Определение 5. Односторонние окрестности точки а:

–левая проколотая - окрестностьточкиа ,

– праваяпроколотая - окрестностьточки а.

В дальнейшем будем рассматривать только - окрестности. Будем называть их просто окрестностями.

Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств

ПустьЕ – произвольное числовое множество, .

Определение 1. Число называется наименьшим (наибольшим) элементом множестваЕ , если выполняется . Если Е имеет наибольший (наименьший) элемент, то он принадлежит множеству .

Определение 2. МножествоЕ называется ограниченным сверху, если выполнено .

Определение 3. Число b называется верхней границей множества Е , если .

Очевидно, что если b – верхняя граница множестваЕ , то любое число, большее b , также будет верхней границей множества Е. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет множество верхних границ.

Пример 1. ограничено сверху. Одна из верхних границ – число 3. И любое число большее, чем 3 является верхней границей. Например, выполнено .

Определение 4. МножествоЕ называется ограниченным снизу, если выполнено .

Определение 4.1. Число а называется нижней границей множества Е, если .

Определение 5. МножествоЕнеограниченно сверху, если .

Определение 6. Множество Енеограниченно снизу, если : .

Определение 7. МножествоЕ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, то есть выполнено .

Определение 7 . МножествоЕ называется ограниченным, если выполнено .

Замечание. Определения 7 и 7 эквивалентны (равны).

8. Множество называется неограниченным, если : .

Определение 9. Верхней гранью множестваЕ (или точной верхней границей множества Е ) называется наименьшая из всех верхних границ множества Е. Обозначается (супремум) или .

Определение 9 . 1) выполнено ,

Условие 2) можно заменить: .

Определение 10. Нижней гранью множества Е (или точной нижней границей множества Е ) называется наибольшая из всех нижних границ множества Е.

Обозначается m =infE (инфимум) или .

infE может как принадлежать так и не принадлежатьмножеству E .

Определение 10 . 1) выполнено ,

Условие 2) можно заменить: .

Условие 1) означает, что число m является нижней границей.

Условие 2) означает, что число m является наибольшей из нижних границ (то есть её нельзя увеличить).

Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Определение 11. Если множествоЕ не ограничено сверху, то . Если множество Е не ограничено снизу, то

3. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности.

Определение 1. Если каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставить в соответствие некоторое число x n , то говорят, что определена числовая последовательность Её обозначают: или .

Определение 2. ограниченнойсверху(снизу) , если выполняется .

Определение 3. Последовательность называется неограниченной сверху (снизу) , если >k (

Определение 4. Последовательность называется ограниченной , если выполнено .

Определение 5. Последовательность называется неограниченной , если : .

Определение 6. Последовательность называется возрастающей (убывающей) , если выполнено ().

Определение 7. Последовательность называется невозрастающей (неубывающей) , если выполнено ().

Определение 8. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

4. Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Стационарная последовательность и ее предел. Единственность предела последовательности.

Пусть дана последовательность : (1)

Определение 1. Числоа называется пределом последовательности , если выполнено . (2)

Обозначается: или или .

Если последовательность имеет предел а , то она называется сходящейся ка .

Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся .

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если выполнено .

Геометрический смысл предела последовательности

Числоа является пределом последовательности , если в любой e – окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого (не принадлежит этой окрестности лишь конечное число членов).

Стационарная последовательность - пос-ть, у которой все ее члены равны одному и тому же числу. ЕЕ предел равен этому числу.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательноb-а =0 и значит, а=b .

5.Необходимое условие сходимости последовательности. Теорема о связях между последовательностями и их пределами (предельный переход в неравенствах, теорема о пределе промежуточной последовательности).

Теорема 2. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

выполнено .

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М = . Тогда "n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема 4. (предельный переход в неравенствах) Если , и "n>N выполняется , то .

Отметим , что из строгого неравенства не следует строгое, а следует нестрогое : .

Теорема 5. (О пределе промежуточной последовательности)

Пусть , , – последовательности, удовлетворяющие условию

"n>N 0 . (1)

Если , то .

6. Понятие бесконечно малой последовательности, геометрический смысл. Свойства бесконечно малой последовательности.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (БМП), если .

Это означает, что выполнено .

Геометрический смысл . Геометрически это означает, что в любой (сколь угодно малой) окрестности нуля находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера .

Теорема 1. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

Теорема 2. Произведение БМП на ограниченную последовательность есть БМП.

Из теоремы 1 и 2 вытекают следствия.

Следствие 1. Если БМП, , то – БМП.

Следствие 2. Разность двух БМП есть БМП.

Следствие 3. Произведение двух БМП есть БМП.

Следствие 4. Произведение БМП и сходящейся последовательности есть БМП.

Замечание 1. Случай произведения 2-х БМП последовательностей можно обобщить для любого конечного числа БМП.

Замечание 2. Для частного двух БМП аналогичное утверждение не верно, то есть если , – БМП, то может и не быть БМП.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность).

Теорема 3. (Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где – БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .

По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то "n>N Þ .

8. Понятие бесконечно большой последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой , если выполняется .

Для обозначения ББП используется запись .

Теорема 1 . 1) Если – ББП, причем то – БМП;

2) если – БМП и то – ББП.

9.Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного сходящихся последовательностей. . Неопределенности вида , , , . Примеры.

1. Частное . 1) , .

2) , .

3) , .

4) , (аналогично).

Отношение двух БМП . Это отношение может иметь предел (конечный или бесконечный), а может и не иметь предела в зависимости от конкретного способа задания последовательностей и . Поэтому отношение двух БМП называется неопределенностью вида .

Если предел отношения найден или доказано, что он не существует, то говорят, что неопределенность раскрыта .

– отношение двух ББП – неопределенность вида .

2. Сумма .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

3. Произведение .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

1.

2. , где a >0.

3. .

10. Понятие невозрастающей и неубывающей последовательности. Верхняя и нижняя грани последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение 1. Верхней гранью последовательности называется верхняя грань множества значений элементов этой последовательности.

Обозначается.

Если множество значений элементов последовательности ограничено сверху, то есть число: Если множество значений неограниченно сверху, то .

Определение 2. Нижней гранью последовательности называется нижняя грань множества значений этой последовательности.

Обозначается infx n .

Если множество значений элементов последовательности ограничено снизу, то . Если множество значений не ограничено снизу, то

Теорема 1. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1" для этого e выполняется два условия:

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

11 .Определение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Геометрический смысл предела функции.

Определение 1(по Гейне). ЧислоА называется пределом функции f(x) в точке а (или при х ®а) , если для любой последовательности (х n ) точек из , сходящейся к а , соответствующая последовательность значений функции (f (x n )) сходится к числу А .

Обозначается или .

Таким образом, , выполнено (f (x n )) A . Второе определение предела функции (по Коши). 2. ЧислоА называется пределом функции f в точке а , если >0 >0: : 0< < выполнено .

Это определение называют определением предела “на языке ”.

Так как неравенство 0< < означает, что , а неравенство - что , то получаем определение “на языке окрестностей”.

Теорема. Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны.

Итак, геометрический смысл предела функции состоит в следующем. ЧислоА является пределом функции f в точке а , если для любой, сколь угодно малой, e - окрестности точки А найдется d - окрестность точки а , такая что для всех х соответствующие значения функции .

12. Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через односторонние пределы).

Односторонние пределы

Рассмотрим понятие предела функции при стремлении к точке справа или слева. При этом заменяется на или на .

Обозначим через левую окрестность точки а , – правую окрестность точки а .

Определение 1. (по Гейне) Число A называется левым (правым ) пределомфункцииf (x ) в точкеa , если , соответствующая последовательность значений функции (f (x n )) сходится к A .Определение 2. (по Коши) ЧислоА называется левым (правым ) пределом функции f (x ) в точкеа , если : : a-d (a)выполняется неравенство .

Обозначается – левый предел, – правый предел.

Определение 1 и определение 2 эквивалентны.Правый и левый предел функции в точке называются односторонними пределами в точке .

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а :

Доказательство.

1) Необходимость.

И . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А . Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.

13.Теорема о единственности предела функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке.

Теорема 1. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (x n ): x n a . Рассмотрим (f (x n )). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, чтоА=В .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 2. Если , то ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а .

14. Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функции.

Теорема 4. Пусть 1) ;

2) .

Тогда .

Теорема 5. Пусть , иА <B (A >B ).

Тогда : : выполняется ().

Теорема 6. Если и А <B (A >B ), то : : выполняется ().

Теорема 7. (Предельный переход в неравенствах)

Пусть , и : : выполняется ). Тогда .

Теоремы, связанные с арифметическими операциями над пределами

Теорема 8. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точкеа существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В () .

15. Виды неопределенностей. Примеры. Теорема о пределе сложной функции.

Бесконечные пределы и неопределенности

(дополнения к теореме 8 §6)

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,